En fri partikel er en partikel der ikke er bundet i et potential og du skal nu selv undersøge hvad der sker for den tidsudviklet tilstand og dens dynamik når den frie partikel rammer en barriere.
Vi vil undersøge følgende tilstand: $\psi(x) = exp{\frac{-x^2}{b}} \cdot exp(ia x)$
Den første eksponentialfunktion beskriver en Gaussisk bølge, den anden bølgefunktion, den komplekse eksponentialfunktion får den til at bevæge sig ud af x-aksen. $a$ bestemmer hvor hurtigt bølgefunktionen bevæger sig ud af x aksen.
1) Lav en composer fil fra bunden, hvor du kan tidsudvikle bølgefunktionen $\psi(x)$. Start med at lave få en "Hamiltonian Operator" op at stå, der har et potential der er 0.
2) Lav en "Analytic Wave Function" node, og indtast $\psi(x)$, med passende Scalar Inputs for $b$ og $a$.
3) Lav en tidsudvikling af bølgefunktionen med "Time Evolution" noden, og plot den i et "Position Plot".
4) Lad tidsudviklingen køre, og undersøg hvordan bølgefunktionen opfører sig for forskellige inputs til $a$ og $b$.
Hints: Start evt. med at sætte $a$ til 0, og find en passende small bølgefunktion ved at variere $b$. Sæt dT til 0.01 og T til 1.
ADVARSEL: Nu begynder der at være risiko for numeriske fejl! Derfor skal du tage højde for disse tre ting, for at simuleringen virker som den skal:
A) Bølgefuktionen må ikke ramme kanterne af x aksen. Hvis den synligt gør det på noget tidspunkt i simulationen, så sæt x_min og x_max anderledes i "Spatial Dimmension" noden
B) Sæt din "Step Size" i "Spatial Dimmension" noden op til 512. Dette er specielt vigtigt når du har sat "b" til noget stort i bølgefunktionen.
Nu sætter vi en barriere ind som bølgefunktionen skal prøve at komme igennem:
1) Få din bølgefunktion til at bevæge sig rimeligt pænt fra venstre mod højre, hvor den starter i x = 0, og kan bevæge sig mindst til x = 30 før den når enden af området.
2) I stedet for 0, så sæt dit potentiale til at være en "Soft box" i composer, der er "b" bred, centreret omkring x = 10, og "a" høj. Her er "a" og "b" nye "Scalar Input"s til "Potential" noden, ikke de samme som til "Analytic Wave Function" noden.
3) Vælg et rimligt lille "b", f.eks. 1, og et rimeligt lille "a", f.eks. 1. Hvad sker der med $\psi$ når du tidsudvikler den?
4) Sæt "a" til noget stort i stedet, f.eks. 50. Hvad sker der med $\psi$ nu?
5 ) Prøv at finde en højde af potentialet der giver en mellemting mellem den opførsel du så for lille a, og for stort a.
Forhåbenligt ser du nu at noget af bølgefunktionen passerer igennem potentialet, mens noget andet af bølgefunktionen ikke gør.
6) Brug "Integral" noden til at udregne hvor meget af bølgefunktionen der er på hver side af potentialet. Plot det i et "Custom Value Time Trace Plot".
Hvor meget af bølgefunktionen der er kommet igennem bølgefunktionen er tranmissionskoefficienten. Hvor meget af den der bliver reflekteret tilbage er reflektionskoefficienten. Se hvordan de ændrer sig i plottet når du ændrer på de forskellige "Scalar Input" til potentialet og bølgefunktionen.
7) Find en opsætning der lader cirka 50% af bølgefunktionen gennem potentialet. Se hvordan du kan ændre på de forskellige parametre ("b" hastigheden af bølgefunktionen, "a" styrken af potentialet og "b" bredden af potentialet) for at styre hvor meget af bølgefunktionen der kommer igennem.
Hint: Der er mange små parametre der skal passe sammen for at få en pæn simulation. Du kan downloade en god opsætning til at starte med her, hvis der er noget der går galt i din version.
