Eksempler på spændende systemer

På denne sider finder du en række eksempler. Hvert eksempel er formuleret som en opgave. Du kan prøve at løse opgaverne selv, eller downloade en løsning.

Opgaverne stammer fra kapitel 1 og 2 i D. J. Griffiths "Introduction to Quantum Mechanics" (4. udgave), men stemmer ikke nødvendigvis fuldstændig overens med bogens opgaver.

En partikel i den uendelige brønd har en initial bølgefunktion givet ved:

Forventningsværdier i den uendelige brønd.

Find $\langle x \rangle, \langle x^2 \rangle, \langle p \rangle, \langle p^2 \rangle, \sigma_x $ og $\sigma_p$ for den $n$'te stationære tilstand for den uendelige brønd.

Linearkombinationer i den uendelige brønd.

En partikel i den uendelige brønd har startbølgefunktion:

$\Psi(x,0)=A\left[\psi_{1}(x)+\psi_{2}(x)\right]$

Perturbation i den uendelige brønd.

Hvis vi placerer en delta-funktion i midten af den uendelige brønd, har vi perturbationen $H'$:

$ H'= \alpha \delta(x-a/2)$

Faseforskydning.

En partikel i den uendelig brønd har en begyndelsestilstand givet ved en ligelig fordelt blandning af de to tilstand 
$\Psi(x,0) = A\lbrack \psi_1(x)+\psi_2(x)\rbrack$

Egentilstande for den harmoniske oscillator. 

I denne opgave arbejdes der med den harmoniske oscillator, dvs. potentialet givet ved $V(x)=\frac{1}{2}m\omega^2 x^2$.

Linære kombination i den harmoniske oscillator.

En partikel i den harmoniske oscillator har en begyndelsetilstand givet ved
$\Psi(x,0)=A\lbrack 3\psi_0(x)+4\psi_1(x)\rbrack$

 

Forventningsværdier i den harmoniske oscillator. 

Find $\langle x \rangle, \langle x^2 \rangle, \langle p \rangle, \langle p^2 \rangle$ og $\langle T \rangle$ for den $n$'te stationære tilstand i den harmoniske oscillator.

Halv harmonisk oscillator. 

Find de tilladte energi for den halve harmoniske oscillator:

En fri partikel.

En fri partikel har startbølgefunktion:

$\Psi(x,0)=A\exp(-a|x|)$

hvor $A$ og $a$ er konstanter.

Partikel med givet bølgefunktion.

Til tiden $t=0$ har en partikel bølgefunktionen:

hvor $A$, $a$ og $b$ er konstanter.

Forventningsværdier af operatorer ud fra given bølgefunktion. 

En partikel har til tiden $t=0$ bølgefunktionen:

Tidsafhængig bølgefunktion.

En partikel med massen $m$ er i tilstanden:

$\Psi(x,t)=A\exp\left(-a\left[\left(\frac{mx^2}{\hbar}\right)+it\right]\right)$

Hvor $A$ og $a$ er positive, reelle konstanter.

Dobbelte delta-potential

Et potential er givet ved 
$V(x)=-b\lbrack \delta(x+a)+\delta(x-a)\rbrack$
hvor a og b er positive konstanter.

Delta-funktions-potentialet approksimeret vha. den endelige brønd.

I denne opgave undersøges hvordan delta-funktionspotentialet kan approksimeres vha. en smal endelig brønd.